それに取り掛かる を簡潔な英語でなんと言いますか？

表現のタイプ

これは、作業開始をそのまま伝える表現です。

まずはこれを言う

I'll get started on it. をそのまま主力にします。

使う場面

• 今からその作業に入ると伝えたい
• 相手に「着手します」と返したい
• 仕事やタスクを始める場面で言いたい
• まだ終わっていない作業にこれから入る

この表現が自然な理由

短くて、そのまま返答に使いやすいからです。

get started はかなり定型に近く、on it をつければ対象にも自然につながります。

start working on it でも意味は通りますが、最初に固定する形としては get started on it の方がまとまりで覚えやすいです。

他の言い方はある

I'll start working on it. も使えます。
ただし少し説明的で、言い回しとしては get started on it の方が軽く出しやすいです。

間違いやすい形

get started with it でも文脈によっては使えますが、この意味では対象の作業に取り組む感じを出しやすい on it の方が安定しています。

まずは増やしすぎない

最初は それに取り掛かる = I'll get started on it. でまとめて入れてしまって大丈夫です。